ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3.1. Метод контурных токов

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только по второму закону Кирхгофа. Таких уравнений получается
K = Nв – (Nу – 1), т. е. на Nу — 1 меньше, чем при расчете электрической цепи методом уравнений Кирхгофа.

Рис. 3.1.1. Двухконтурная схема

При этом методе полагают, что в каждом независимом контуре проходит свой, так называемый контурный ток, который независимо от других токов создает падение напряжения на тех сопротивлениях электрической цепи, по которым он проходит. Контурные токи обозначают буквой I с двойными индексами, которые соответствуют номерам контуров: I₁₁, I₂₂ и т. д. Направления контурных токов выбирают произвольно (по ходу часовой стрелки или против), но в одну сторону и показывают стрелками внутри контуров. Истинные токи равны алгебраической сумме контурных токов:  I₁ =  I₁₁,  I₂ = I₂₂,   I₃ = I₁₁ –  I₂₂.

Контурной ЭДС называют алгебраическую сумму всех ЭДС контура. При этом обход контура производят по направлению контурного тока и ЭДС берут со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «минус», если эти направления противоположны. Контурные ЭДС обозначают буквой E с двойными индексами, которые соответствуют номерам контуров ЭДС. В рассматриваемом примере контурные ЭДС E₁₁ = E₁ и E₂₂ = – E₂.

Собственным сопротивлением контура называют сумму всех сопротивлений, входящих в данный контур. При этом каждое сопротивление берется с положительным знаком. Собственные сопротивления контуров обозначаются буквой R с двойными индексами, соответствующими номеру контура. В рассмотренном примере собственные сопротивления контуров R₁₁ = R₁ + R₃ и R₂₂ = R₂ + R₃.

Взаимным (или смежным) сопротивлением контуров называют сопротивление, входящее одновременно в два разных контура. Его обозначают буквой R с двойными индексами, первый из которых соответствует номеру рассматриваемого контура, а второй — номеру контура, имеющего общее (смежное) сопротивление с рассматриваемым контуром.

С учетом введенных понятий систему уравнений для рассматриваемого примера можно записать в виде:

        (3.1.1.)

Решив систему уравнений (3.1.1.), определим контурные токи I₁₁ и I₂₂. Зная контурные токи, можно найти истинные токи в ветвях. Если по расчету истинный ток, имеет знак «минус», то действительное его направление в ветви противоположно произвольно выбранному.

Для электрической цепи, содержащей 3 независимых контура, система контурных уравнений имеет следующий вид:

        (3.1.2.)

Решая систему уравнении (3.1.2.) с помощью определителей, находят контурные токи:

I₁₁ = D₁/D,        I₂₂ = D₂/D,        I₃₃ = D₃/D,

где определитель системы

Этот определитель для пассивных электрических цепей, не содержащих зависимых источников электрической энергии, симметричен относительно его главной диагонали, так как для таких электрических цепей любые взаимные сопротивления равны между собой

Определитель контура D_k получается из определителя D путем замены элементов k-го столбца свободными членами (контурными ЭДС).

5. Решить полученную систему уравнений и определить контурные токи.

6. Определить истинные токи в ветвях.

Выше предполагалось, что источники энергии заданы в виде источников ЭДС Если же по условию задачи часть источников энергии будет задана в виде источников тока, то перед началом расчета их целесообразно преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.

При расчете электрических цепей рекомендуется использовать математическую компьютерную программу Mathcad.

Примеры расчета цепей методом контурных токов

3.1.1. Расчет двухконтурной цепи постоянного тока через определители
3.1.2. Расчет двухконтурной цепи постоянного тока через функцию lsolve
3.1.3. Расчет трехконтурной цепи постоянного тока через функцию lsolve

ОГЛАВЛЕНИЕ